Eindeutigkeit  
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Elektron

Die Begründung der Formel E = h*Nue

In diesem Aufsatz geht es um das Verständnis der Formel E = h*Nue, die deswegen so merkwürdig ist, weil sie eine Energie E und eine Frequenz Nue in Zusammenhang bringt, also zwei physikalische Größen, die eigentlich nichts miteinander zu tun haben. Diese Formel stützt sich auf das Plancksche Strahlungsgesetz, welches sich mit den im statistischem Gleichgewicht befindenden Emissions- und Absorptionsprozessen der Körper befasst, also mit der Wechselwirkung der Elektronen mit den Lichtwellen.

Eine wichtige Eigenschaft des Elektrons ist neben seiner Masse m und seiner Ladung e auch das Plancksche Wirkungsquantum h. Diese Größen müssen vom Bezugssystem unabhängig sein, damit das Prinzip der Eindeutigkeit des Weltgeschens nicht verletzt wird. Nicht unabhängig vom Bezugssystem und abhängig vom augenblicklichen Bewegunszustand des Elektrons sind u.a. seine kinetische Energie E, sein Drehimpuls Ds und sein Spin. Wie die nachfolgende Überlegung zeigt, ist das besondere am Spin, dass das Elektron nur mit seiner Hilfe elektromagnetische Wellen emittieren oder absorbieren kann, wobei die Richtung des Drehimpulses Ds des Spins vom augenblicklichen Bewegungsverlauf des Elektrons abhängt, während der Betrag dieses Drehimpulses stets gleich dem Planckschen Wirkungsquantum h ist. Die Richtung von Ds ist entweder parallel (spin-up)oder antiparallel (spin-down) zu D.
Man versteht vielleicht am einfachsten, warum das so ist, wenn man annimmt, dass der Spin als bewegter Kreisel senkrecht auf D steht, denn dann würde der Spin ein Drehmoment erfahren, das senkrecht zum Spin und senkrecht auf D steht. Nur wenn der Spin und der Bahndrehimpuls des Elsktrons jeweils an einer Stelle der Flugbahn des Elektrons zueinander parallel oder antiparallel stehen, gibt es solche Drehmomente für den Spin nicht mehr, und der Spin "versucht" sofort, in diese Stellung zu gelangen

Stern-Gerlach-Versuch (ein Einschub)
Man verzeihe mir, dass ich an dieser Stelle kurz auf das Verhalten des Spins bei dem Stern-Gerlach-Versuch eingehe. Bei diesem Versuch schickt man einen Partikelstrahl durch ein inhomogenes Magnetfeld. Weil sich der Spin der Parikel wie ein magnetischer Dipol benimmt, glaubt man damit aus der Krümmung der Flugbahnen der Partikel auf die Vektoren ihrer Spins schließen zu können. Beim Eintritt in das Magnetfeld waren die Richtungen der Vektoren der Spins noch statistisch gleichverteilt. Für jedes Partikel ändert sich das aber von dem Moment an, in dem sich die Flugbahn dieses Partikels unter dem Einfluss der magnetischen äußeren Kraft zu krümmen beginnt. Die Achse seines Spins wird sich aus dem soeben erwähnten Grunde sofort parallel oder antiparallel zur Krümmungsachse der Partikel-Flugbahn ausrichten und damit nicht mehr gleichverteilt sein. Das bedeutet, dass man mit dieser Messung unbeabsichtigt massiv die zu messenden Spins beeinflusst.- Doch nun wieder zurück zum eigentlichen Thema:

An jedem Ortspunkt des bewegten Elektrons gelten zunächst ohne Berücksichtigung des Spins die Gleichungen (1),(1a),(1b)

D = m *
w * r * r,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,((1)
E = m *
w * w * r * r / 2 ,,,,,,,,,,(1a)
E = D *
w /2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,(1b)

dabei sind
w = Vektor seiner Winkelgeschwindigkeit, E = seine kinetische Energie, D = Vektor seines Drehimpuls, r = Abstand des Elektrons von der Achse von D.

Addiert sich bei Berücksichtigung des Spins zu D noch der Drehimpuls Ds des Spins des Elektrons hinzu, so vergrößert oder verkleinert sich D bei einem "Umklappen" seines Spins von spin-up zu spin-down um 2*h, und es ändert sich entsprechend zu (1b) bereits auch E und zwar um h*
w, was aber nach (1a) nicht unmittelbar möglich ist, da sich die Größen w und r nicht entsprechend schnell ändern werden. Schnell verändern kann sich dagegen das elektromagnetische Feld, welches in Form eines Lichtquantsdie Energie h*w und den Drehimpuls 2*h aufnimmt, während die Gleichungen (1),(1b) und (1b) - aber nun wieder ohne Berücksichtigung des Spins - mit den neuen Werten von Bahndrehimpuls und Energie erst langsam erfüllt werden. Das schnelle Umklappen des Spins verlangt also sowohl die Mitwirkung von elektromagnetischen Wellen und übt damit andererseits Kräfte auf das Elektron aus, die auf die Erfüllung der Gleichungen (1),(1b) und (1b) hinwirken. Damit aber auch während des "Umklappens" Energie und Impuls insgesamt stets erhalten bleiben, handelt es sich bei dem "Umklappen" des Spins nur um einen idealisierten Prozess, der in Wirklichkeit zwar sehr schnell aber nicht unendlich schnell abläuft, ebenso erfolgt auch das Entstehen eines Lichtquants nicht plötzlich.

Setzt man noch h' = h /2*
p und Nue = w *2*p, so erhält man die bekannte Formel E = h'*Nue als Folge der merkwürdigen Eigenschaften des Spins der bewegten Elektronen.. Diese Betrachtung ist allerdings nur näherunsweise korrekt, da in (1b) die Winkelgeschwindigkeit w des Elektrons während eines endlich schnellen Klappprozess des Spins in (1b) nur näherungsweise konstant bleibt.

Sofern das Plancksche Strahlungsgesetz für alle Strahlungen gilt, gibt es keine Licht-Emission, die ohne Mitwirkung der Spin-Stellung des betreffenden Elektrons entstanden ist. Zumindest die Abstrahlung kann dann nicht allein von der Bewegung des Elektrons abhängen, sondern sie hängt auch davon ab, welche Richtung sein Spin gerade hat, da er nach einer Abtrahlung erst dann wieder die nächste Abstrahlung veranlassen kann, nachdem er inzwischen eine Absorption zugelassen hatte. Das gilt z.B. auch für ein Elektron, das sich in einem Atom näherungsweise auf einer Kreisbahn befindet und erst dann wieder ein Lichtquant emittieren kann, wenn sein Spin zuvor eine Absorption veranlasst hatte. Soll ein System, etwa mit einer Antenne, Energie abstrahlen, so muss durch Energiezufuhr von außen dafür gesorgt werden, dass die Spins der mitwirkenden Elektronen immer wieder emissionsbereit sind.

Man könnte zunächst denken, dass wenigstens die Energieaufnahme eines Elektrons aus einem Wellenpaket auch ohne Mitwirkung des Spins erfolgen kann, jedoch widerlegt der Photoeffekt diese Vermutung, da nur Lichtquanten - also energetisch genügend große Wellenpakete einer bestimmten Frequenz - von den Elektronen für Absorptionen akzeptiert werden.

Es bleibt nun noch die interessante Frage, womit dem Spin seine Kontrollfunktion über das Entsenden oder Empfangen von Lichtquanten gelingt. Sehr wahrscheinlich spielt hier jener Drehimpuls 2*h die entscheidende Rolle, den das Lichtquant für seine Entstehung braucht und der bei der Emission vom Spin des Elektrons auf die Strahlung übergeht. Ist dieser Übergabeprozess beendet, wird die Enission abgebrochen.


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