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Der Comptoneffekt


Wenn es so ist, dass die ausgesandten Lichtqumten sich nach ihrer Absendung aus einem Atom sehr rasch verdünnen und dass Absorptionen durch Wellenpakete zustande kommen, die von einem absorbierenden Atom aus dem Wellenfeld "herausgefischt" werden, so fragt es sich, was einen Comptoneffekt bewirkt. Der Comptoneffekt beschreibt etwas über den den Stoß des elektromagnetischen Wellenfeldes auf ein ruhendes Elektron. und es ist die Frage, ob er sich nur auf absorptionsfähige Wellenpakete, also auf Photonen oder bereits auf jede Welle bezieht, die auf ein ruhendes Elektron trifft. Wenn h in der Comptonformel zurecht eine Rolle spielt, sollte eigentlich der Comptonefekt nur mit solchen Wellenpaketen und deren Vorgeschichte funktionieren. Dementsprechend wurde auch der Comptoneffekt als Beweis für die reale Existenz der Photonen gefeiert.

Das Impulsdreieck, das den Impulssatz für den Stoß auf das Elektron graphisch darstellt, zeigt, dass bei gleichbleibenden Ablenkwinkel der stoßenden Welle unabhängig von ihrer ursprünglichen Stärke auch jene Richtung gleich bleibt, mit der das gestoßene Elektrons dann losfliegt. Lediglich der Betrag des Impulses des Elektrons nach dem Stoß reagiert proportional auf die Größe des Eingang-Impuls der stoßenden Welle. Das deutet darauf hin, dass der Comptoneffekt nicht nur für stoßende Photonen sondern auch für beliebig kleine stoßende Wellen gilt.

Die empirisch bewährte Formel für den Comptoneffekt ist mithilfe der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet worden. Sie lautet

lamda1 - lamda2 = lamda0* (1 - cos(Alpha))

Dabei sind

lamda0 = h / (m*c) die Compton-Wellenlänge
lamda1 und lamda2 die Wellenlängen des stoßenden Photons vor und nach dem Stoß
h das Plancksche Wirkungsquantum
m die Masse des gestoßenen Elektrons
c die Lichtgeschwindigkeit.
Alpha der Ablenkwinkel des stoßenden Photons

Diese Formel zeigt, dass die Wellenlängenänderung der stoßenden Welle auch nicht von deren Wellenlänge vor dem Stoß abhängt sondern ein-eindeutig nur vom Ablenkwinkel Alpha. Da somit die Geschwindigkeit des gestoßenen Elektrons gegenüber der Lichtgeschwindigkeit auch sehr klein sein kann, habe ich im Folgenden eine Herleitung der Comptonformel ohne SRT beschrieben, die zumindest für solche kleinen Geschwindigkeiten des Elektrons richtig sein sollte. Das Ergebnis bezieht sich auf dasjenige Bezugssystem, in dem das Elektron vor dem Stoß ruhte.

Für die Herleitung dieser Formel braucht man die Formulierung des Impulses m*v des Elektrons nach dem Stoß mit v als Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Stoß. Und man braucht die Formulierung des Impulses eines Ausschnitts jener Welle, mit der der Stoß passiert. Eine solche Formulierung zu finden ist recht problematisch, da wir von einer elektromagnetischen Welle weder die Amplitude noch die Breite oder die Anzahl ihrer Wellenberge noch ihre Energie oder ihren Impuls sondern nur ihre Frequenz kennen. Darüber hinaus kennen wir nur die Energie und den Impuls von ganzen Wellenpaketen, die als Photonen von Atomen absorbiert werden. Das heißt also, wir kennen herzlich wenig von dem kleinen Wellen-Ausschnitt, in dem der Stoß mit dem Elektron stattfindet. Da wir aber nichts Besseres haben, bleibt nur übrig, für diesen Ausschnitt alle Wellen mitzunehmen, die später als ein Photon der immerhin bekannten Frequenz von einem Atom absorbiert werden können. Dies erklärt, warum der Comptoneffekt überhaupt etwas mit den Photonen zu tun hat, was u.a. zur Folge hat, dass Energie und Impuls des betrachteten Photons viel größer sind als die Energie und der Impuls, die auf das Elektron beim Stoß übertragen werden. Glücklicherweise kommt es aber nur auf die Differenz dieser Größen vor und nach dem Stoß an und nicht auf diese Größen selbst.

Der Impulssatz lautet dann mit den Frequenzen Nue und Nue' als Vektoren

h*(Nue - Nue')/ c = m*v

und der Energiesatz

h*(Nue - Nue') = v*v*m /2

Quadriert wird daraus

h*h*(Nue*Nue + Nue'*Nue' - 2*Nue*Nue') = v*v*v*v*m*m /4
-
Der Cosinussatz für die Impulse lautet

m*m*v*v*c*c = h*h*(Nue*Nue + Nue'*Nue'- 2*Nue*Nue'*cos(Alpha))

Ersetzt man hier die beiden reinen Quadrate auf der rechten Seite durch die entsprechenden Größen der darüber stehenden Gleichung, erhält man

m*m*v*v*c*c = h*h*(2*Nue*Nue' + v*v*v*v*m*m /4* - 2*Nue*Nue'*cos(Alpha))

oder

m*m*v*v*c*c = h*h*( v*v*v*v*m*m /4* - 2*Nue*Nue'*(1 - cos(Alpha))

m*m*v*v*(1 - v*v/(4*c*c)) = 2*h*h*Nue*Nue' * (1 - cos(Alpha))

2*m*m*v*v*(1 - v*v/(4*c*c))/2 = 2*h*h*Nue*Nue' * (1 - cos(Alpha))

m*m*v*v*(1 - v*v/(4*c*c))/2 = h*h*Nue*Nue' * (1 - cos(Alpha))

Ersetzt man hier m*v*v/2 durch h*(Nue - Nue') erhält man

m*(Nue - Nue')*(1 - v*v/(4*c*c)) = h*Nue*Nue' * (1 - cos(Alpha))


oder

m*(Nue - Nue') /(Nue*Nue') * (1 - v*v/(4*c*c)) = h *(1 - cos(Alpha)

oder, um die Wellenlängen Lamda einzuführen mit Nue = c/ Lamda und Nue' = c/ Lamda'

Lamda' - Lamda = h/ / [m*c*(1 - (v*v/(4*c*c)] * (1 - cos(Alpha))

I
st v klein gegen c, erhält man die bekannte Comptonformel mit der Comptonwellenlänge Lamda0 = h/ (m*c)

Lamda0 = h/ (m*c)


Fazit

Der Comptoneffekt handelt von der Ablenkung einer elektromagnetischen Welle infolge eines Stoßes an einem ruhenden Elektron. Dabei kann die stoßende Welle beliebig klein sein. Da der Comptoneffekt ein Differenzeffekt ist, kann er mithilfe des Photonenbildes erklärt werden